197-577-902| Домой | Софт | Мастерская | Лирика | ЧаВО | Юмор | 197-577-902 |
Определение: рангом матрицы А, называется максимальная система линейнонезависимых строк (столбцов) матрицы.
Замечание: ранг матрицы по столбцам и по строкам совпадает.
Пример 1
Ранг этой матрицы равен 1, т.к. любые ее две строки можно получить через третью, умножив ее на соответствующий коэффициент.
Пример 2
Ранг этой матрицы равен 2.
Обозначения:
А - матрица, состоящая из n строк и k столбцов;
A(i, j) - элемент матрицы, стоящий на i-ой строке, в j-ом столбце.Алгоритм:
Основа алгоритма - цикл по всем элементам главной диагонали. Для квадратной матрицы размера n будет n итераций. Для прямоугольной матрицы, состоящей из n строк и k столбов, число итераций будет равно min(n, k). Пусть i - счетчик итераций.
Каждый проход цикла устроен следующим образом.
- Если A(i, i) равен нулю, то в прямоугольнике (i, i, n, k) ищем ненулевой элемент. Если он не найден, то выходим из цикла. Если он найден, и его координаты (i2, j2), то меняем местами i-ую строку с i2-ой, и j-ый столбец с j2-ым.
Делим i-ую строку матрицы на A(i, i). Таким образом A(i, i) теперь равен 1.- При помощи вычитания i-го столбца из всех столбцов стоящих правее, и i-ой строки из всех строк стоящих ниже, с определенными коэффициентами, зануляем все элементы вида А(i+1, i), A(i+2, i), ... A(n, i) и A(i, i+1), A(i, i+2), ... A(i, k).
- Переходим к следующей итерации.
После цикла остается подсчитать сколько единиц стоит на главной диагонали. Их кол-во равно рангу. Если же их нет, то ранг равен 1.
Пример:
Делим первую строку на 3.
Теперь вычитаем из второго и третьего столбца первый с коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно.
Вычитаем из второй и третьей строки первую с коэффициентами 2 и 1 соответственно.
и т.д. В итоге получим матрицу:
Следовательно ранг матрицы равен 3.
Здесь вы найдете уже реализованный класс "Матрица" в котором имеется метод нахождения ранга матрицы. Если вам нужна только эта функция, то вытащить ее из класса не составит большого труда.
Курош, "Алгебра".
| Слава Антонов © 2002 — August 13, 2008 |
|
